傅里葉變換及諧波

輸出的是方波，顯示出的卻是正弦波或其他波形，這是為什么？

在正式揭開謎團之前，我們需要先明白方波是什么。先介紹一位老朋友——傅里葉。傅里葉是19世紀法國著名的數學家、物理學家，是他提出了對后世影響極大的傅里葉變換，在多個領域都有廣泛的應用。

微積分，卷積，傅里葉級數，傅里葉矩陣，離散的連續的，周期的非周期的……傅里葉變換是讓無數學子頭疼的一個知識點，不過我們今天只需了解其物理意義。

通俗來講，傅里葉變換是：

任何一個數學函數，都可以寫成是多個正弦函數的和。

從物理學角度來講，傅里葉變換是：

任何一個復雜的電磁波信號都可以由多個最基本的正弦波信號疊加組成。

綜上，可以說方波也是由無數個正弦波組成的。

如下圖顯示，信號是一個方波，橫軸代表時間，豎軸代表幅度，而向頻率方向映射過去就得到了時域圖像：

傅里葉變換提到過，方波其實就是由基波再加上無數的正弦波共同構成的，那么上圖中部這么多的正弦波其實就是基波、三次諧波、五次諧波以及最后的n次諧波。圖上豎軸代表幅度，縱軸代表頻率，向時間方向映射過去就得到了頻域圖像。

為了更好地理解，我們可以做個實驗：

使用SDG6000X任意波形發生器輸出一個5MHz的正弦波，使用SDS2000X Plus數字示波器的FFT功能后，它的頻譜圖只有一個峰值點處于5MHz處。

此時，我們直接將輸出的正弦波換成方波，從它的FFT頻譜圖可以看到有很多個峰值點，峰值分別處于5MHz, 15MHz, 25MHz……其實這就是我們剛才所說的基波、三次諧波、五次諧波等。

方波為什么不方？

認識到“方波是由無數個正弦波組成”這個本質之后，我們繼續來探討“為什么方波不方”這個問題。

在剛才的實驗中曾經多次提到一個詞——諧波。三次諧波的頻率為基波的3倍，五次諧波為5倍，那么N次諧波則為N倍。既然方波是由無數的正弦波組成，那么諧波越多，方波的棱角就越方，顯示出來的波形就越接近于理想的方波。

01 示波器帶寬

怎么保證正弦波的數量足夠多呢？這就涉及到一個參數——示波器的帶寬。

當方波被一定帶寬的示波器測量時，高于示波器帶寬的諧波就被示波器過濾掉了，基本上只留下低于帶寬的一些諧波；當諧波少于一定數量時，方波的棱角就變得圓滑，甚至直接變成了正弦波。

使用一臺帶寬為500MHz的SDS2000X Plus數字示波器以及SDG6000X任意波形發生器，首先發出一個頻率為60MHz的方波，可以看到此時的波形雖然棱角不夠分明，但也能看出是個方波。

我們打開200MHz帶寬限制，此時剛才所看到的棱角直接變得圓滑了起來， 形狀偏向正弦波更多一些。

經過剛才的試驗，我們已經確定了影響方波還原的一個重要指標就是示波器的帶寬，有時為了能夠完美還原方波，甚至需要示波器帶寬在方波頻率的10倍以上。

02 探頭帶寬

需要注意的是，在測量時我們有時需要用到探頭，當探頭與示波器相連時就組成了一個系統。根據短板原理，一只木桶盛水的多少，并不取決于桶壁上最高的那塊木塊，而恰恰取決于桶壁上最短的那塊，所以即使示波器能夠滿足方波的需求，而探頭達不到要求也無法還原出一個完美的方波。

這就引出了影響還原方波的第二個要素——探頭的帶寬。

03 探頭校準

既然提到了探頭的帶寬影響，就不得不提到“萬惡之源”：探頭的校準。

在實際使用過程中，示波器探頭的準確度會因為長時間使用、物理損耗等原因下降，對測試結果產生誤差。為了保證測試結果的準確性，需要對示波器探頭進行校準。

首先，將示波器的輸入選擇打到直流耦合上，并將示波器探頭接地夾與示波器地端相連，探頭掛鉤與示波器校準信號補償端相連（一般示波器都會帶有補償端），通常是1KHz的方波信號。然后調節水平時基旋鈕，使波形能夠清晰地顯示在屏幕上，觀察方波的上下兩邊是否水平。

如果出現過沖的現象，則需要調節探頭上的匹配電容，此時就需要用小螺絲刀進行調節，直至波形上下兩邊處于水平狀態。

04 信號問題

那么說完了示波器和探頭的影響，還有一種可能是信號本身出了問題。

作為一個理想的，優秀的方波，應該只有“高”和“低”這兩個值，這兩個值之間應當是瞬時變化的，但是實際上由于物理局限性，這種情況并不可能實現。

信號從最低值上升到最高值然后再下降所花費的時間分別稱為脈沖上升時間和脈沖衰減時間。當上升或衰減時間過長，方波本身就變得不那么理想，我們又怎么能夠在示波器上看到理想的方波呢？

使用SDS2000X Plus數字示波器以及SDG6000X任意波形發生器進行測試，SDS2000X Plus數字示波器本身的上升時間為0.8ns。需要注意的是，我們所設置的方波的上升時間必須大于示波器的上升時間，否則就沒有意義了。

首先我們設置一個方波，將它的頻率設置為1MHz，脈寬為600ns，上升時間為10ns，然后輸出信號，現在示波器所顯示的是較為理想的方波。

然后保持其他條件不變，逐漸增加其上升時間，可以看到方波原先的棱角慢慢變得圓潤了起來。

05 視覺效果

再換個角度來思考，如果一個方波它的上升時間足夠短，但是脈寬很小，雖然本質上講是一個比較理想的方波，從視覺上來看仍然是這樣嗎？

我們來看看實際效果。將剛才所設置的600ns脈寬減小至60ns，此時信號源輸出的信號是一個上升時間為10ns，脈寬為60ns的方波。

為了讓波形更加清晰，我們減小示波器的水平時基。隨著波形被放大，上升時間所在的這段波形也被放大，慢慢地從視覺效果上看，方波發生了形變。

總結

方波是由基波再加上無數的正弦波共同構成的，而方波不方在測試測量中是一個常見的問題。本文整理了5個主要因素，分別是示波器的帶寬、探頭的帶寬、探頭未校準、方波的上升/衰減時間過長以及視覺效果影響。